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逆向抄数曲线与曲面基础知识

发布日期:2014-07-05  来源:百佳学习邦  作者:李勇  浏览次数:1600
核心提示:国标准化组织分布的关于工业产品数据交换的STP国际标准,把Nurbs作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法。与此同时,一些著名的商品化CAD软件系统如Geomagic纷纷开发和推出Nurbs功能,目前大多数的商业化CAD软件均采用Nurbs统一表示。
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逆向抄数曲线与曲面基础知识
长期以来,参数曲线曲面一直是描述几何形状的主要工具,它起源于飞机、船舶的外形放样工艺,由Coons、Bezier等大师于上世纪六十年代奠定理论基础。1963年Fugerson提了将曲线曲面表示为参数向量函数形式,在此之前曲线曲面都是采用普通的函数表示形式或它们的隐式方程表示形式。1964年,Coons发表了一种由四条边界曲线确定的参数曲面即昆氏曲面片,从而使分片表示完整曲面成为可能。贝兹于1971年发表的由控制多边形定义曲线的方法,则可以很方便地控制曲线的形状,但曲线上任一点都与多边形的所有顶点相关,因此对控制多边形的任何修改都会影响到曲线的整体形状。上世纪七十年代初,De Boor,Gordon等人发展了B样条曲线曲面的理论和算法,保留了贝兹曲线的大部分优点,另一方面,由于是分段多项式,因此允许局部控制。
上述各种方法尤其是B样条方法较为成功地解决了自由曲线曲面形状的描述问题,然而将其应用于圆锥曲线和初等解析曲面时,去是不成功的,每种方法都只能给出近似表示,不能适应大多数工业产品的要求。为此,Versprille于七五年提出有理B样条方法最后在Pigel和Tiller等人的努力下,终于在八十年代后期发展起来非均匀有理B样条Nurbs的一整套方法,把有理我非有理贝兹曲线和B样条曲线曲面及圆锥曲线和初等解析曲面统一在一种表示之中。九一年,国标准化组织分布的关于工业产品数据交换的STP国际标准,把Nurbs作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法。与此同时,一些著名的商品化CAD软件系统如Geomagic纷纷开发和推出Nurbs功能,目前大多数的商业化CAD软件均采用Nurbs统一表示。而基于参数曲面也是曲面重建常用的方法。
在进行曲面重建之前,需要对常用曲线曲面重构的基本理论、数学模型及其特性有所了解,以帮助在逆向抄数中总结出其特点、相关参数及应用技巧,减少造型时的盲目性,更好地进行曲面重建。

曲线与曲面的拟合
在正向工程曲面造型中,曲线是构建曲面的基础,而在逆向抄数中,曲线拟合造型也是一种常用的模型重建方法。它先将数据点通过插值或逼近拟合成样条曲线或参数曲线,再利用曲面造型工具,如扫描、混成、放样或边界曲面等完成曲面片造型,再通过延伸、裁剪和过渡等曲面编辑,得到完整的曲面模型。然后,通常由曲线通过造型工具进行曲面造型的方法只适合处理数据量不大且数据呈有序排列的情况。曲面模型重建的另一种方法是直接对测量数据点或者通过测量数据点的多边形化模型上的面片网格进行曲面片拟合,获得曲面片经过过渡、混合、连接形成最终的曲面模型。
逆向抄数曲线与曲面基础知识
给定一组有序的数据点,这些点即可以是从实物测量得到的,也可以是设计人员给出的。要求构造一条曲线顺序通过这些数据点,称为对这些数据点进行插值,所构造的曲线称为插值曲线,所采用的数学方法称为曲线插值法。
以插值方式来建立曲线,其优点是所得到的曲线必会通过所有测量的数据点,因此曲线与数据点的误差为零。缺点是当数据点过大时,曲线控制点也会相对增多。同时,若数据点中有噪声存在,使用插值法拟合曲线时,应先进行数据平滑处理以去除噪声。插值法的过程如下图所示。
在某些情况下,如果测量得到的数据点较粗糙、误差较大,构造一条严格通过给定的一组数据点的曲线,则所建立的曲线将不平滑。尽管可以对数据点进行平滑处理,但会丢失曲线的几何特征信息。这时可以构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据,这种方法称为对这些数据点的逼近,所采用的数学方法则称为曲线逼近法。
采用逼近法,首先指定一个允许的误差值,并设定曲线的控制点数目,基于所有测量数据点,用最小二乘法求出一条曲线后,及时求出数据点到曲线的距离,若最大的距离大于设定的误差值,则需要增加控制点数目,重新以最小二乘法拟合曲线,直到误差满足为止。

逆向抄数曲线与曲面基础知识
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